Mathematischer Anhang
Kapitel 3: Schwarzschild-Metrik
Metriken für die Raumzeit
Karl Schwarzschild fand 1916 die erste exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen, nur einige Monate nachdem Einstein seine Theorie vollendet hatte.
Diese Schwarzschild-Lösung ist das kugelsymmetrische, statische Gravitationsfeld einer ungeladenen, nicht rotierenden Masseverteilung. In großer Entfernung von dieser Masse geht die Lösung in den flachen (Minkowski-) Raum über.
Birkhoff wies 1923 nach, daß jede kugelsymmetrische Vakuumlösung der Feldgleichungen statisch ist, also unabhängig von der Zeit t (Birkhoffscher Satz).
Das Feld ist immer noch statisch, wenn eine kugelsymmetrische radiale Bewegung der Massen erfolgt (Explosion bzw. Implosion).
Die Schwarzschild-Lösung ist die einzige kugelsymmetrische Lösung der Vakuum-Feldgleichungen (6)
Mit dieser Lösung lassen sich die für uns wichtigen Gravitationsfelder von Sonne und Erde beschreiben, die nur langsam rotierende, nahezu kugelförmige Masseverteilungen darstellen.
Üblicherweise erfolgt die Angabe der Schwarzschild-Lösung durch die quadratische Form des Linienelementes ds, d.h. durch Angabe der Schwarzschild-Metrik
(8) 
mit den raumartigen Polarkoordinaten r, 
, 
und der sogenannten Koordinatenzeit t.
Die physikalische Bedeutung der (Integrations-)Konstanten 
erhalten wir über den Vergleich mit dem Newtonschen Grenzfall der Einsteinschen Theorie . Daraus folgt die Beziehung
(9) 
mit der Newtonschen Gravitationskonstanten 
,
der (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit c und der Newtonschen Masse m des Zentralkörpers.
Die Konstante ist also ein Maß für die Masse und hat die Dimension einer Länge. Diese Konstante wird deshalb auch Gravitationsmasse oder Gravitationsradius bzw. Schwarzschildradius des Zentralkörpers genannt.
Wir können das Schwarzschild-Feld als das Gravitationsfeld einer kugelsymmetrischen Masseverteilung der Newtonschen Masse m betrachten, die im Ursprung des Koordinatensystems (8) ruht.
Wie wir erwarten dürfen, geht für verschwindende Masse die Schwarzschild-Metrik (8) in das Linienelement des Minkowski-Raumes über.
Der metrische Tensor der Schwarzschild-Metrik lautet also in expliziter Form
(10) 
Die radiale Koordinate r ist so definiert, daß die Oberfläche einer Kugel mit r = const. (und t = const.) den Wert 
hat. Der Abstand ds in radialer Richtung ist dagegen durch
gegeben. Der Abstand dR ist also stets größer als die Koordinatendifferenz dr.
Die Koordinate t heißt Koordinatenzeit im Unterschied zur Eigenzeit 
eines in dieser Metrik ruhenden Beobachters. Die beiden Größen sind durch die Beziehung
miteinander verknüpft.