Mathematischer Anhang
Einleitung: Die Theorie in Kürze
Geometrischer Hintergrund der Einsteinschen Gravitationstheorie ist der (Pseudo-)
Riemannsche Raum mit einer zeitartigen und drei raumartigen Koordinaten (also der Signatur +2). Der Riemannsche Raum ist durch die Metrik
(1) 
charakterisiert (nach der Einsteinschen Summenkonvention wird über doppelt vorkommende Indizes summiert).
Die Beziehung (1) heißt auch metrische Fundamentalform. Die 10 koordinatenabhängigen Koeffizienten 
bilden den metrischen Tensor. Der metrische Tensor kennzeichnet den Raum lokal vollständig.
Mit dem metrischen Tensor werden sowohl die Längen und Winkel bestimmt bzw. definiert, als auch der Abstand zweier Punkte 
und 
. Die 10 Komponenten des metrischen Tensors bestimmen also die Geometrie der Raumzeit (genauer: die innere Geometrie), und damit auch deren Krümmung (unten mehr).
Einstein nun faßt die Gravitation selbst als Eigenschaft der Raumzeit auf, indem er Gravitation und Geometrie in eins setzt. Insofern stellen die auch die Komponenten eines verallgemeinerten (Gravitations-)Potentials dar.
Eine wichtige Eigenschaft eines Raumes ist die Gesamtheit seiner Geodäten 
. Geodäten werden als extremale Kurven aus dem Variationsprinzip
definiert mit dem affinen Parameter 
und der Lagrangefunktion L.
Diese Formulierung ist - wie ds auch - invariant gegen Koordinatentransformationen. Wir erhalten schließlich mit den zur Lagrangefunktion L zugehörigen Euler-Lagrangegleichungen vier Differentialgleichungen
zweiter Ordnung für die vier Funktionen
(2) 
.
Diese Geodätengleichung verallgemeinert den Begriff der Geraden bzw. das Trägheitsprinzip der Speziellen Relativitätstheorie auf beliebige Koordinaten.
Für zeitartige Kurven (ds² > 0) kann der affine Parameter mit der Bogenlänge s bzw. der Eigenzeit 
identifiziert werden.
Die Gleichungen (2) geben dann die kräftefreie Bewegung eines Körpers im Gravitationspotential an.
Die in (2) vorkommenden Christoffelsymbole 
sind definiert durch
(3) 
.
Die Kommata bei den Indizes bedeuten eine partielle Ableitung nach der Koordinate, die den Kommata folgt.
Die Christoffelsymbole sind keine Tensoren. In einem Riemannschen Raum können sie somit in einem Koordinatensystem identisch verschwinden, während sie in einem anderen Koordinatensystem nicht null sind.
Die Christoffelsymbole stellen auch die Komponenten einer verallgemeinerten (Gravitations-)Feldstärke dar. Somit kann in einem Koordiatensystem ein Feld mit einer nichtverschwindenden Feldstärke auftreten, das in einem anderen Koordinatensystem verschwindet
(Beispiel unten, Minkowski-Raum).
Der Riemannsche Krümmungstensor (bzw. Riemann-Christoffel-Tensor) ist ein Maß für die Abweichung des Raumes von einem Minkowski-Raum (siehe unten). Das Verschwinden des Krümmungstensors ist dabei notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß der Raum flach, also nicht gekrümmt ist.
Seine Bestimmungsgleichung lautet
(4) 
In einem vierdimensionalen Raum hat der Riemannsche Krümmungstensor maximal 20 algebraisch unabhängige Komponenten.
Durch Verjüngung läßt sich aus dem Riemannschen Krümmungstensor der Ricci-Tensor gewinnen bzw. der Krümmungsskalar R
Der Ricci-Tensor stellt eine Art mittlerer Krümmung dar.
Nach etwa zehnjähriger Forschungsarbeit stellte Einstein 1915 die Feldgleichungen seiner Gravitationstheorie auf, die sogenannten Einsteinschen Feldgleichungen:
(5) 
mit der Einsteinschen Naturkonstanten 
.
Eine Leseart dieser Grundgleichungen sieht darin die Verursachung der Raumzeit - Krümmung (gegeben durch den Ricci-Tensor) durch die Materieverteilung (repräsentiert durch den Energie-Impuls-Tensor 
).
Die Feldgleichungen bilden ein System von 10 nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung für den metrischen Tensor.
Aus den Feldgleichungen kann also prinzipiell die Struktur der Raumzeit gewonnen werden.
Das Einsteinsche Gravitationsgesetz kann als Beschränkung der möglichen Raumzeitgeometrie aufgefaßt werden. Die Geometrie der Raumzeit ist nicht vom allgemeinsten Riemannschen Typ, in der die willkürliche Funktionen der Koordinaten sind.
Die sogenannten Vakuum-Feldgleichungen lauten einfach
(6) 
Die Gleichung bedeutet, daß auch außerhalb von Massen die Raumzeit gekrümmt sein kann. Nicht die Krümmung selbst (d.h. der Riemannsche Krümmungstensor), sondern "nur" die mittleren Krümmungen (d.h. der Ricci-Tensor) verschwinden. Wir können dies auch so formulieren, daß die Krümmung der Raumzeit innerhalb der Massen ("der Griff der Masse auf die Raumzeit") der Raumzeit außerhalb dieser Massen eine Krümmung aufprägt ("der Griff der Raumzeit auf sich selbst").